Question

7．過拋物線y²-2x=0的焦點且傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 由拋物線y²=2x與過其焦點（$\frac{1}{2}$，0）的直線方程聯立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$═x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達定理可以求得答案．

解答 解：由題意知，拋物線y²=2x的焦點坐標為（$\frac{1}{2}$，0），∴直線AB的方程為y=x-$\frac{1}{2}$，
由直線與拋物線方程聯立得x²-3x+$\frac{1}{4}$=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=3，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，y₁•y₂=（x₁-$\frac{1}{2}$）•（x₂-$\frac{1}{2}$）=x₁•x₂-$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{1}{4}$=-1，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{1}{4}$-1=-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數量積公式，轉為一元二次方程根與系數的關系的問題．