Question

4．已知函數f（x）=2x²+e^x-$\frac{1}{3}$（x＜0）與g（x）=2x²+ln（x+a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是a＜e${\;}^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 令f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有解，得ln（x+a）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$有正數解，作出兩函數圖象，根據圖象判斷特殊點位置即可得出a的范圍．

解答 解：由題意可知f（-x）=g（x）在（0，+∞）上有解，即2x²+$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$=2x²+ln（x+a）在（0，+∞）上有解，
∴l(xiāng)n（x+a）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$有正數解．
作出y=ln（x+a）與y=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{3}$的函數圖象，則兩圖象在（0，+∞）上有交點，

顯然，當a≤0時，兩圖象在（0，+∞）上恒存在零點，
當a＞0時，若兩圖象在（0，+∞）上存在零點，則lna$＜\frac{2}{3}$，
解得0＜a＜e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
綜上，a＜e${\;}^{\frac{2}{3}}$．
故答案為：$a＜{e^{\frac{2}{3}}}$．

點評 本題考查了方程根與函數圖象的關系，屬于中檔題．