Question

19．（1）已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，用分析法證明：$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+bc+ca}≤1$
（2）已知a+b+c=0，ab+bc+ca＞0且abc＞0，用反證法證明：a，b，c都大于零．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分析法的步驟證明即可，
（2）假設(shè)a，b，c不都大于零，即至少有一個(gè)小于零或等于零，這時(shí)需要逐個(gè)討論a，b，c不是正數(shù)的情形．但注意到條件的特點(diǎn)（任意交換a，b，c的位置不改變命題的條件），我們只要討論其中一個(gè)數(shù)（例如a），其他兩個(gè)數(shù)（例如b，c）與這種情形類似．

解答 （1）因?yàn)?＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1
欲證明$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+bc+ca}≤1$
只需證a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca，
只需證（a-1）-b（a-1）-c（a-1）+bc（a-1）＜0，
即證（a-1）（b-1）（c-1）≤0，
由已知得最后一個(gè)不等式成立，
故原不等式成立；
（2）假設(shè)a，b，c不都大于零，即至少有一個(gè)小于零或等于零
（ i）若某一個(gè)等于零，由abc=0，與abc＞0矛盾．
（ ii）若某一個(gè)小于零，不妨設(shè)a＜0，由abc＞0，得bc＜0
由a+b+c＞0，得b+c＞-a＞0，那么-a（b+c）＞0，得a（b+c）＜0，即ab+ac＜0，
結(jié)合bc＜0，得ab+bc+ca＜0與ab+bc+ca＞0矛盾．
結(jié)合（i）、（ii）知a，b，c都大于零．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了發(fā)證法和分析法，要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰．于是考慮采用反證法．