Question

14．已知圓錐雙曲線(xiàn)E：x²-y²=1．
（Ⅰ）設(shè)曲線(xiàn)E'表示曲線(xiàn)E的y軸左邊部分，若直線(xiàn)y=kx-1與曲線(xiàn)E'相交于A，B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；
（Ⅱ）在條件（Ⅰ）下，如果$\overrightarrow{AB}=6\sqrt{3}$，且曲線(xiàn)E'上存在點(diǎn)C，使$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將直線(xiàn)AB代入雙曲線(xiàn)方程，由題意，列不等式組，即可取得k的取值范圍；
（Ⅱ）利用弦長(zhǎng)公式求得k的值，根據(jù)向量向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線(xiàn)E'上，即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程組；$\left\{\begin{array}{l}y=kx-1\\{x^2}-{y^2}=1（{x＜0}）\end{array}\right.$，整理得：（1-k²）x²+2kx-2=0（x＜0）
從而有：$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△={（{2k}）^2}+8k＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{1-{k^2}}}＜0\\{x_1}•{x_2}=\frac{-2}{{1-{k^2}}}＞0\end{array}\right.$，解得：-$\sqrt{2}$＜k＜-1，
∴k的取值范圍（-$\sqrt{2}$，-1）；
（Ⅱ）丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x₁-x₁丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}$=$2\sqrt{\frac{{（{1+{k^2}}）（{2-{k^2}}）}}{{{{（{1-{k^2}}）}^2}}}}$=6$\sqrt{3}$，
整理得28k⁴-55k²+25=0，k²=$\frac{5}{7}$或${k^2}=\frac{5}{4}$，
注意到$-\sqrt{2}＜k＜-1$，所以$k=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，故直線(xiàn)AB的方程為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}x+y+1=0$，
設(shè)C（x₀，y₀），由已知$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OC}$，則（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀），
又${x_1}+{x_2}=\frac{-2k}{{1-{k^2}}}$=$-4\sqrt{5}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=8，所以$C（{\frac{{-4\sqrt{5}}}{m}，\frac{8}{m}}）$．C在曲線(xiàn)E'上，得$\frac{80}{m^2}-\frac{64}{m^2}=1$，解得：m=±4
但當(dāng)m=-4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，不合題意，所以m=4為所求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．