Question

如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

，M是AD的中點，P是BM的中點．
（1）若∠BDC=45°，求直線CD與平面ACB所成角的大小；
（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求BC的長；
（3）若CD=x，對任意x∈[1.

2

]，線段BD上是否存在點E，使得平面CPE⊥平面CMB？若存在，設BE=y，試寫出y關于x的函數表達式，并求出y的最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）過點D作DQ⊥AC于Q，則BC⊥AD，BC⊥DQ，從而DQ⊥平面ABC，直線CD與平面ABC所成角為∠DCA，由此能求出直線CD與平面ABC所成角．
（2）過C作CG⊥BD于G，過G作GN⊥BM于N，連結CN，則∠CNG是二面角C-BM-D的平面角，由此能推導出BC的長．
（3）過點D作DH⊥MC于H，連結BH，使BH∩PC=K，作KE∥DH，連結BH，使BH∩PC=K，作KE∥DH，且KE∩BD=E，由已知得點E為所求點，由此能求出y關于x的函數表達式，并求出y的最大值．

解答： 解：（1）如圖，過點D作DQ⊥AC于Q，
由AD⊥平面BCD，得BC⊥AD，
又BC⊥CD，AD∩CD=D，∴BC⊥DQ，
∵AC∩BC=C，∴DQ⊥平面ABC，
∴直線CD與平面ABC所成角為∠DCA，
在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，∴CD=BC=2，
在Rt△ACD中，∵AD=2，CD=2，∴∠DCA=45°，
∴直線CD與平面ABC所成角為45°．
（2）如圖，由已知，平面ADB⊥平面BDC，
過C作CG⊥BD于G，∴CG⊥平面BMD，
過G作GN⊥BM于N，連結CN，
則∠CNG是二面角C-BM-D的平面角，
由已知得BM=

8+1

=3，設∠BDC=α，
則

CD

BD

=cosα，sinα=

CG

CD

=

CB

BD

，∴CD=2

2

cosα，
CG=2

2

cosαsinα，BC=2

2

sinα，
在Rt△BCG中，∠BCG=α，∴sinα=

BG

BC

，BG=2

2

sin2α，
在Rt△BNG中，由

NG

2 2 sin2α

=

1

3

，得NG=

2 2 sin2α

3

，
在Rt△CNGk，∵tan∠CNG=tan60°=

3

=

CG

NG

=

2 3 cosαsinα

2 2 sin2α 3

，∴tanα=

3

，
∵α∈（0°，90°），∴α=60°，∴∠BDC=60°，
∴BC=BDsin∠BDC=2

2

sin60°=

6

．
（3）如圖，過點D作DH⊥MC于H，連結BH，
使BH∩PC=K，
在平面HBD中，作KE∥DH，連結BH，使BH∩PC=K，
在平面HBD中，作KE∥DH，且KE∩BD=E，
下面證明點E為所求點，
∵BC⊥平面ADC，且BC?平面CMB，
∴平面CMB⊥平面ADC，
又∵DH⊥MC，∴DH⊥平面CMB，
∵EK∥DH，∴EK⊥平面CMB，∴平面CPE⊥平面CMB，
如圖，在Rt△MDC中，

MH

HC

=

MH

DH

•

DH

HC

=

1

x

•

1

x

=

1

x2

，
在Rt△MCB中

MH

HC

=

1

x2

•

MP

PB

=1，
如圖，通過補直角三角形為矩形，
利用相似三角形的性質，得

HK

KB

=

x2

1+x2

，
如圖，在Rt△DHB中，由題意知△BEK∽△BDH，
∴

BE

BD

=

BK

BH

=

KB

HK+KB

=

x2+1

2x2+1

，
∴y=BE=

2 2 (x2+1)

2x2+1

，x∈[1，

2

]，
令μ=x²∈[1，2]，則y=

2 2 (μ+1)

2μ+1

=

2 2 [(2μ× 1 2 + 1 2 ]

2μ+1

=

2

+

2

2μ

，μ∈[1，2]，
∵f（μ）=

2

+

2

2μ+1

在∈[1，2]上單調遞減，
∴當μ=1時，y_max=

4 2

3

．

點評：本題考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，考查空間思維能力、空間想象能力和運算求解能力．