Question

10．記f（n）為最接近$\sqrt{n}$（n∈N^*）的整數，如f（1）=1，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=2，f（5）=2，…，若$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+$\frac{1}{f（3）}$+…+$\frac{1}{f（m）}$=4054，則正整數m的值為（　　）

• A． 2016×2017
• B． 2017²
• C． 2017×2018
• D． 2018×2019

Answer 1

分析 寫出前幾項，找出規律，即可求得m的值．

解答 解：由$\frac{1}{f（1）}$=1，$\frac{1}{f（2）}$=1，2個
$\frac{1}{f（3）}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{f（4）}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{f（5）}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{f（6）}$=$\frac{1}{2}$，4個
$\frac{1}{f（7）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（8）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（9）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（10）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（11）}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{f（12）}$=$\frac{1}{3}$，6個
$\frac{1}{f（13）}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{f（14）}$=$\frac{1}{4}$，…$\frac{1}{f（20）}$=$\frac{1}{4}$，8個
…
∴…$\frac{1}{f[m×（m+1）]}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+$\frac{1}{f（3）}$+…+$\frac{1}{f（m）}$=1×2+$\frac{1}{2}$×4+$\frac{1}{3}$×6+…+$\frac{1}{n}$×2n=4034，
則$\stackrel{n}{\overbrace{2+2+2+…+2}}$=4034，則2n=4034，則n=2017，
∴總共有2017個$\frac{1}{2017}$，
則$\frac{1}{f（m）}$=$\frac{1}{2017×2018}$，
故m的值為2017×2018；
故選C．

點評 本題考查函數值的求法，要求學生通過觀察，分析歸納發現規律的能力，考查學生分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．