Question

5．已知函數f（x）=2e^x-m-x，其中m為實數．
（1）當m=ln2時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若m≤1，對任意x∈R，記f（x）的最小值為g（m），求g（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）利用導數可得函數f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增，f（x）的最小值為g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，g（m）的最小值g（1）=ln2．

解答 解：（1）m=ln2時，f（x）=2e^x-ln2-x，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）f′（x）=2e^x-m-1，令f′（x）=2e^x-m-1=0，得x=m-ln2．
當x∈（-∞，m-ln2）時，f′（x）＜0，當x∈（m-ln2，+∞）時，f′（x）＞0．
∴函數f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增，
f（x）的最小值為g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，
∵m≤1，∴g（m）的最小值g（1）=ln2．

點評 本題考查了函數的單調性，最值，及零點問題，屬于中檔題．