Question

17．已知$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，p：sinx＜x，q：sinx＜x²，則p是q的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 $x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令f（x）=x-sinx，利用導數研究其單調性即可判斷出命題p的真假．而$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令g（x）=x²-sinx，同理判斷出此命題的真假．

解答 解：$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令f（x）=x-sinx，則f′（x）=1-cosx＞0，∴函數f（x）在$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$上單調遞增，則f（x）＞f（0）=0，因此命題p是真命題．
而$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令g（x）=x²-sinx，則g′（x）=2x-cosx，${g}^{′}（0）{g}^{′}（\frac{π}{2}）$=-1×π＜0，∴g′（x）=0有解，因此函數g（x）存在極值點，設為x₀，則2x₀=cosx₀．g（x₀）=${x}_{0}^{2}$-sinx₀=$\frac{co{s}^{2}{x}_{0}}{4}$-sinx₀=$\frac{-si{n}^{2}{x}_{0}-4sin{x}_{0}+1}{4}$=$\frac{-（sin{x}_{0}+2）^{2}+5}{4}$∈$（-1，\frac{1}{4}）$，因此命題q不一定成立．
∴p是q的必要不充分條件．
故選：B．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．