Question

1．在數列{a_n}中，a₁=1，并且對于任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$．
（1）證明數列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設數列b_n=a_n．a_n+1，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，兩邊取倒數，轉化為等差數列，即可得出．
（2）利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）$\frac{1}{a_1}=1$，∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{2{a_n}+1}}$，∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=2$，
∴數列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是首項為1，公差為2的等差數列，
∴$\frac{1}{a_n}=2n-1$，從而a_n=2n-1．
（2）∵${a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]=\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．