Question

12．設T_n為數列{a_n}的前n項之積，即T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n，若a₁=2，$\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1（n∈{N^*}，n≥2）$，當T_n=11時，n的值為10．

Answer 1

分析 由題意可得數列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}$為首項，以1為公差的等差數列，寫出通項公式，求出a_n，再寫出T_n，令T_n=11求得n的值．

解答 解：由a₁=2，$\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1（n∈{N^*}，n≥2）$，
可得數列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}$為首項，以1為公差的等差數列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）•1=n，
∴a_n=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n=2•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$…$\frac{n+1}{n}$=n+1，
由T_n=n+1=11，得n=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了數列遞推式，以及累積法求數列通項公式的應用問題，是中檔題．