Question

16．對(duì)于正整數(shù)k，記g（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，例如g（1）=1，g（2）=1，g（10）=5．設(shè)S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①g（3）+g（4）=10；
②?m∈N^*，都有g(shù)（2m）=g（m）；
③S₁+S₂+S₃=30；
④S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．
則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)已知中g(shù)（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵g（k）表示k的最大奇數(shù)因數(shù)，S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．
∴①g（3）+g（4）=3+1=4≠10，故錯(cuò)誤；
②?m∈N^*，都有g(shù)（2m）=g（m），故正確；
③S₁+S₂+S₃=（1+1）+（1+1+3+1）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=30，故正確；
④當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2^n-1）+g（2ⁿ）
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=$\frac{（1+{2}^{n}-1）×{2}^{n-1}}{2}$+[g（1）+g（2）+…+g（2^n-1）]=4^n-1+S_n-1，
于是S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．故正確；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，正確求數(shù)列的和是關(guān)鍵．