Question

6．已知函數f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=2．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）用定義法證明f（x）在區間（1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入x=1，解方程可得m的值；
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$為奇函數．運用奇函數的定義，注意定義域關于原點對稱，f（-x）=-f（x）；
（Ⅲ）運用單調性的定義證明，設值、作差、變形和定符號、下結論等步驟．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=2，
可得1+m=2，即有m=1；
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$為奇函數．
理由：定義域為{x|x≠0}關于原點對稱．
且f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-f（x），
則f（x）為奇函數；
（Ⅲ）證明：設x₁＞x₂＞1，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
由x₁＞x₂＞1，可得x₁x₂＞1，x₁-x₂＞0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
即f（x）在區間（1，+∞）上是增函數．

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，注意運用定義法，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．