Question

8．橢圓上$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上一點p到兩焦點距離之積為m，則m取最大值時，p點的坐標是（　�。�

• A． $（{\frac{{5\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$或 $（{-\frac{{5\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{\frac{5}{2}，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}）$或$（{\frac{5}{2}，-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}）$
• C． （5，0）或（-5，0）
• D． （0，3）或（0，-3）

Answer 1

分析 根據橢圓的方程，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，結合基本不等式可知：當且僅當|PF₁|=|PF₂|=5時，點P到兩焦點的距離之積為m有最大值25，并且此時點P位于橢圓短軸的頂點處，可得點P坐標為（0，3）或（0，-3）．

解答 解：∵橢圓方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，∴橢圓的a=5，b=3
設橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
∴點P到兩焦點的距離之積m滿足：m=|PF₁|×|PF₂|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=25
當且僅當|PF₁|=|PF₂|=5時，m有最大值25
此時，點P位于橢圓短軸的頂點處，得P（0，3）或（0，-3）
故選：D

點評 本題給出橢圓的方程，求其上一點到兩個焦點距離之積的最大值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．