Question

20．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{-x}），x＜0\\ x-2，x≥0\end{array}\right.$，若函數g（x）=|f（x）|-a有四個不同零點x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則${x_1}{x_2}{a^2}-\frac{{{x_3}+{x_4}}}{2}a+2017$的最小值為2016．

Answer 1

分析 畫出函數y=|f（x）|的圖象，由題意得出a的取值范圍和x₁x₂，x₃+x₄的值，再利用二次函數配方法即可求出最小值．

解答 解：由題意，畫出函數y=|f（x）|的圖象，如圖所示，
又函數g（x）=a-|f（x）|有四個零點x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
所以0＜a≤2，
且log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，
所以x₁x₂=1，x₃+x₄=4，
則${x_1}{x_2}{a^2}-\frac{{{x_3}+{x_4}}}{2}a+2017$
=a2-2a+2017=（a-1）2+2016，
當a=1時，取得最小值2016．
故答案為：2016．

點評 本題考查了分段函數研究函數的零點的應用問題，也考查了二次函數最值的求法與等價轉化的應用問題，是綜合性題目．