Question

18．多面體ABCDEF（如圖甲）的俯視圖如圖乙，己知面ADE為正三角形．
（1）求多面體ABCDEF的體積；
（2）求二面角A-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）分別取AB、CD的中點M、N，連結EM，EN，MN，多面體體積轉化為棱柱AED-MFN的體積V₁和四棱錐F-MBCN的體積V₂之和，由此能求出多面體ABCDEF的體積．
（2）取MN中點O，BC中點P，以OM為x軸，OP為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．

解答 解：（1）分別取AB、CD的中點M、N，
連結EM，EN，MN，
多面體體積轉化為棱柱AED-MFN的體積V₁和四棱錐F-MBCN的體積V₂之和，
由三視圖知AD=2，AM=DN=1，
又面ADE為正三角形，且垂直于底面ABCD，
∴F到底面距離為$\sqrt{3}$，
∴多面體ABCDEF的體積：
V=V₁+V₂=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）取MN中點O，BC中點P，
以OM為x軸，OP為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，
知A（1，-1，0），B（1，1，0），F（0，0，$\sqrt{3}$），
C（-1，1，0），
則$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AF}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），
設平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
同理求得平面BFC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
設二面角A-BF-C的平面角為θ，
則cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{4}$．
∴二面角A-BF-C的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查多面體的體積的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．