Question

判斷函數y=x²-2x+1的單調性并證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數y是二次函數，得出y=f（x）在（-∞，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
用定義證明即可．

解答： 解：∵函數y=x²-2x+1=（x-1）²，
是二次函數，圖象是拋物線，開口向上，對稱軸為x=1；
∴y=f（x）在（-∞，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
用定義證明如下：
任取x₁＜x₂＜1，∴f（x₁）-f（x₂）=(x1-1)2-(x2-1)2=（x₁+x₂-2）（x₁-x₂），
∵x₁＜x₂＜1，∴x₁+x₂-2＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，1）上是減函數；
同理可證：f（x）在（1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了判斷一元二次函數的圖象與性質的應用問題，也考查了用定義證明函數的單調性問題，是基礎題．