Question

2．若函數f（x）是定義在R上的奇函數，且在（-∞，0]上滿足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，且f（1）=0，則使得$\frac{f（x）}{x}$＜0的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 由題意可得奇函數f（x）在（-∞，0]上單調遞減，f（1）=0，f（-1）=0，可得函數f（x）的單調性示意圖，數形結合求得使$\frac{f（x）}{x}$＜0的x的取值范圍．

解答 解：函數f（x）是定義在R上的奇函數，
且在（-∞，0]上滿足$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
故函數f（x）在（-∞，0]上單調遞減．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0，
故函數f（x）的單調性示意圖，如圖所示：
則由 $\frac{f（x）}{x}$＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$ ②．
解①求得x＞1，解②求得x＜-1，
故不等式的解集為{x|x＞1，或 x＜-1}，
故選：B．

點評 本題主要考查函數的單調性和奇偶性的應用，屬于中檔題．