Question

12．已知二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（Ⅰ）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，求f（x）在區(qū)間[1，a+1]上的最小值和最大值；
（Ⅲ） 若f（x）在區(qū)間（1，3）上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設知：f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，則有$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a\\ f（a）=1\end{array}\right.$，解得實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（-∞，2]上是減函數(shù)，則a≥2，結合函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在區(qū)間[1，a+1]上的最小值和最大值；
（Ⅲ） 若f（x）在區(qū)間（1，3）上有零點，則1＜a＜3，且函數(shù)的最小值不大于0，進而得到答案．

解答 解：由題設知：函數(shù)化為f（x）=（x-a）²+5-a²，其對稱軸為x=a（a＞1）．…（1分）
（Ⅰ）由題設知：f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，
則有$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a\\ f（a）=1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}6-2a=a\\ 5-{a^2}=1\end{array}\right.$…（3分）
∴a=2…（4分）
（Ⅱ） 由題設知：a≥2，則有a-1≥1=（a+1）-a；…（5分）
又f（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在[a，a+1]上單調(diào)遞增；  …（6分）
∴$f{（x）_{min}}=f（a）=5-{a^2}$，f（x）_max=f（1）=6-2a…（8分）
（Ⅲ）由題設知：當a≥3時，f（x）＜f（1）≤0，則f（x）在區(qū)間（1，3）上無零點； …（9分）
當1＜a＜3時，f（1）＞0且f（x）在（1，a]上單調(diào)遞減，在[a，3）上單調(diào)遞增；…（10分）
∴$f{（x）_{min}}=f（a）=5-{a^2}≤0$，即$a≥\sqrt{5}$…（11分）
由上述知：$\sqrt{5}≤a＜3$…（12分）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．