Question

4．設數列{a_n}各項為正數，且a₂=4a₁，${a_{n+1}}=a_n^2+2{a_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）證明：數列{log₃（1+a_n）}為等比數列；
（Ⅱ）設數列{log₃（a_n+1）}的前n項和為T_n，求使T_n＞520成立時n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出首項，化簡已知條件，利用等比數列的定義證明：數列{log₃（1+a_n）}為等比數列；
（Ⅱ）求出首項的通項公式，然后求和，列出不等式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由已知，${a_2}=a_1^2+2{a_1}=4{a_1}$，則a₁（a₁-2）=0，
因為數列{a_n}各項為正數，所以a₁=2，
由已知，${a_{n+1}}+1={（{{a_n}+1}）^2}＞0$，
得log₃（a_n+1+1）=2log₃（a_n+1）．
又log₃（a₁+1）=log₃3=1，
所以，數列{log₃（1+a_n）}是首項為1，公比為2的等比數列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${log_3}（{1+{a_n}}）={2^{n-1}}$，
所以${T_n}=1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}={2^n}-1$．
由T_n＞520，得2ⁿ＞521（n∈N^*），
所以n≥10．
于是T_n＞520成立時n的最小值為10．…（12分）

點評 本題考查等比數列的概念、等比數列通項公式與前n項和等基礎知識，考查運算求解能力．