Question

14．已知點P（x，y）在橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上運動，設$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$，則d的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{5}-2$
• B． $2\sqrt{2}-1$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{6}-1$

Answer 1

分析 由設P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），則設$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+3si{n}^{2}α+4\sqrt{3}sinα+4}$-cosα=$\sqrt{20-（sinα-2\sqrt{3}）^{2}}$-cosα，當sinα=0，cosα=1時，d的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$焦點在x軸上，由點P（x，y）在橢圓上，
設P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），則設$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+3si{n}^{2}α+4\sqrt{3}sinα+4}$-cosα，
=$\sqrt{20-（sinα-2\sqrt{3}）^{2}}$-cosα，
當sinα=0，cosα=1時，
d的最小值為$d=\sqrt{{x^2}+{y^2}+4y+4}-\frac{x}{2}$=$\sqrt{20-12}$-1=2$\sqrt{2}$-1，
d的最小值2$\sqrt{2}$-1，
故選B．

點評 本題考查橢圓的參數方程，同角三角形函數的基本關系，考查三角函數的最值，考查計算能力，屬于中檔題．