Question

19．在正四面體ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，則下列命題正確的序號是①③④
①異面直線AB與CD所成角為90°；
②直線AB與平面BCD所成角為60°；
③直線EF∥平面ACD     
④平面AFD⊥平面BCD．

Answer 1

分析 在①中，由AB⊥平面CDE，知異面直線AB與CD所成角為90°；在②中，直線AB與平面BCD所成角為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；在③中由EF∥AC，知直線EF∥平面ACD；在④中，由BC⊥平面ADF，知平面AFD⊥平面BCD．

解答 解：正四面體ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，
在①中，∵正四面體ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，
∴CE⊥AB，DE⊥AB，
又CE∩DE=E，∴AB⊥平面CDE，
∵CD?平面CDE，
∴異面直線AB與CD所成角為90°，故①正確；
在②中，過A作AO⊥平面BCD，交DF=O，連結BO，
則∠ABO是直線AB與平面BCD所成角，
設正四面體ABCD的棱長為2，
則DF=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2DF}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
cos$∠ABO=\frac{BO}{AB}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線AB與平面BCD所成角為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故②錯誤；
在③中，∵點E，F分別是AB，BC的中點，
∴EF∥AC，
∵EF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴直線EF∥平面ACD，故③正確；
在④中，由AF⊥BC，DF⊥BC，
又AF∩DF=F，∴BC⊥平面ADF，
∵BC?平面BCD，∴平面AFD⊥平面BCD，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．