Question

12．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，
（Ⅰ）求證：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作AC的中點O，由A₁A=A₁C，且O為AC的中點，得A₁O⊥AC，再由面面垂直的性質可得A₁O⊥底面ABC，以O為坐標原點，OB、OC、OA₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，由$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}$=0，可得AC⊥A₁B；
（Ⅱ）平面AA₁C的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$，設平面A₁CB的一個法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，求出$\overrightarrow{m}$，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-A₁C-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：作AC的中點O，∵A₁A=A₁C，且O為AC的中點，∴A₁O⊥AC，
又側面AA₁C₁C⊥底面ABC，其交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥底面ABC，
以O為坐標原點，OB、OC、OA₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
由已知得：O（0，0，0），A（0，-1，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，1，0），C₁（0，2，$\sqrt{3}$），B（1，0，0）．
則有：$\overrightarrow{{A}_{1}B}=（1，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{AC}$=0，∴AC⊥A₁B；
（Ⅱ）解：平面AA₁C的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（1，0，0）$．
設平面A₁CB的一個法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角A-A₁C-B的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查直線與直線的位置關系，訓練了利用空間向量求異面直線所成角及二面角，是中檔題．