Question

20．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a、b、c，$C=\frac{π}{3}，b=8$，△ABC的面積為$10\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用三角形面積公式可求a的值，進而利用余弦定理可求c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用余弦定理可求cosB的值，結合范圍B∈（0，π），利用同角三角函數基本關系式可求sinB，進而利用兩角差的余弦函數公式計算求值得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$C=\frac{π}{3}，b=8$，△ABC的面積為$10\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×a×8$×sin$\frac{π}{3}$，解得：a=5，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{25+64-2×5×8×\frac{1}{2}}$=7…6分
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{49+25-64}{70}$=$\frac{1}{7}$，
又∵B∈（0，π），可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴cos（B-C）=cosBcos$\frac{π}{3}$+sinBsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{7}×\frac{1}{2}$=$\frac{13}{14}$…12分

點評 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦函數公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．