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20.在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a、b、c,$C=\frac{π}{3},b=8$,△ABC的面積為$10\sqrt{3}$.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求cos(B-C)的值.

分析 (Ⅰ)由已知利用三角形面積公式可求a的值,進而利用余弦定理可求c的值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)利用余弦定理可求cosB的值,結合范圍B∈(0,π),利用同角三角函數基本關系式可求sinB,進而利用兩角差的余弦函數公式計算求值得解.

解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)∵$C=\frac{π}{3},b=8$,△ABC的面積為$10\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×a×8$×sin$\frac{π}{3}$,解得:a=5,
∴由余弦定理可得:c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{25+64-2×5×8×\frac{1}{2}}$=7…6分
(Ⅱ)∵由(Ⅰ)可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{49+25-64}{70}$=$\frac{1}{7}$,
又∵B∈(0,π),可得:sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,
∴cos(B-C)=cosBcos$\frac{π}{3}$+sinBsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{7}×\frac{1}{2}$=$\frac{13}{14}$…12分

點評 本題主要考查了三角形面積公式,余弦定理,同角三角函數基本關系式,兩角差的余弦函數公式在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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數據編號20082009201020112012201320142015
道路里程數x120130140150160170180190
汽車保有量y144154160168176180186190
(Ⅰ)若某年的兩個值都不小于170時,我們將該年稱為“出行便捷年”.現從這8年中任取5年,求恰有2年為“出行便捷年”的概率(請用分數作答).
(Ⅱ)根據上表數據,用變量y和x的相關系數說明y與x之間線性相關關系的強弱.如果具有較強的線性相關關系,求y與x的線性回歸方程(系數精確到0.01);如果不具有線性相關關系,請說明理由.
參考公式:相關系數$r=\frac{{\sum_{i=1}^8{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^8{{{({x_i}-\overline x)}^2}}\sum_{i=1}^8{{{({y_i}-\overline y)}^2}}}}}$;回歸直線的方程是:$\hat y=\hat bx+a$,
其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}$,$a=\overline y-\hat b\overline x$,${\hat y_i}$是與xi對應的回歸估計值.
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