Question

13．已知函數f（x）=$\frac{k{x}^{2}}{{e}^{x}}$（k＞0）．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當k=1時，若存在x＞0，使lnf（x）＞ax成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數，對k討論，利用導數的正負，可得函數的單調區間；
（2）分離參數，構造新函數，g（x）=$\frac{2lnx-x}{x}$（x＞0），存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價于a＜g（x）_max，由此可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）函數的定義域為R，求導函數可得f′（x）=$\frac{-kx（x-2）}{{e}^{x}}$，
當k＜0時，令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴函數f（x）的單調增區間為（-∞，0），（2，+∞），單調減區間為（0，2）；
當k＞0時，令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞2；令f′（x）＞0，可得0＜x＜2
∴函數f（x）的單調增區間為（0，2），單調減區間為（-∞，0），（2，+∞）；
（2）當k=1時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，x＞0，1nf（x）＞ax成立，
等價于a＜$\frac{2lnx-x}{x}$，設g（x）=$\frac{2lnx-x}{x}$（x＞0）
存在x＞0，使1nf（x）＞ax成立，等價于a＜g（x）_max，
g′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，當0＜x＜e時，g′（x）＞0；當x＞e時，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減．
∴g（x）_max=g（e）=$\frac{2}{e}$-1，
∴a＜$\frac{2}{e}$-1．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查存在性問題，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．