Question

4．如圖，在四棱錐中P-ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）已知點M是線段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，則△ABD為正三角形，從而AD⊥BQ，AD⊥PQ，進而AD⊥平面PQB，由此能證明AD⊥PB．
（2）連結(jié)AC，交BQ于N，連結(jié)MN，由AQ∥BC，得$\frac{AN}{NC}=\frac{AQ}{BC}=\frac{1}{2}$，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得MN∥PA，由此能求出實數(shù)λ的值．

解答 證明：（1）如圖，連結(jié)BD，由題意知四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD為正三角形，
又∵AQ=QD，∴Q為AD的中點，∴AD⊥BQ，
∵△PAD是正三角形，Q為AD中點，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB．
解：（2）連結(jié)AC，交BQ于N，連結(jié)MN，
∵AQ∥BC，∴$\frac{AN}{NC}=\frac{AQ}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵PN∥平面MQB，PA?平面PAC，
平面MQB∩平面PAC=MN，
∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得MN∥PA，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{AN}{NC}$，
綜上，得$\frac{PM}{MC}=\frac{1}{2}$，∴MC=2PM，
∵MC=λPM，∴實數(shù)λ的值為2．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．