Question

16．甲、乙、丙三人投籃的水平都比較穩定，若三人各自獨立地進行一次投籃測試，則甲投中而乙不投中的概率為$\frac{1}{4}$，乙投中而丙不投中的概率為$\frac{1}{12}$，甲、丙兩人都投中的概率為$\frac{2}{9}$．
（1）分別求甲、乙、丙三人各自投籃一次投中的概率；
（2）若丙連續投籃5次，求恰有2次投中的概率；
（3）若丙連續投籃3次，每次投籃，投中得2分，未投中得0分，在3次投籃中，若有2次連續投中，而另外1次未投中，則額外加1分；若3次全投中，則額外加3分，記ξ為丙連續投籃3次后的總得分，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）記甲、乙、丙三人各自獨立地進行一次投籃測試投中的事件依次為A、B、C，由題設條件有：$P（A\overline{B}）$=$\frac{1}{4}$，$P（B\overline{C}）$=$\frac{1}{12}$，P（AC）=$\frac{2}{9}$，解出即可得出．
（2）丙連續投籃5次，恰有2次投中的概率為$P=C_5^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{40}{243}$，
（3）ξ可以取的值為0，2，4，5，9，可求得：$P（ξ=0）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，$P（ξ=2）=C_3^1\frac{2}{3}{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，$P（ξ=4）={（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，$P（ξ=5）=2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{8}{27}$，$P（ξ=9）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．可得ξ的分布列及其數學期望．

解答 解：（1）記甲、乙、丙三人各自獨立地進行一次投籃測試投中的事件依次為A、B、C，由題設條件有：
$P（A\overline{B}）$=$\frac{1}{4}$，$P（B\overline{C}）$=$\frac{1}{12}$，P（AC）=$\frac{2}{9}$，即P（A）[1-P（B）]=$\frac{1}{4}$，①；P（B）[1-P（C）]=$\frac{1}{12}$，②P（A）P（C）=$\frac{2}{9}$，③．…（2分）
由①③得P（B）=1-$\frac{9}{8}$P（C），代入②得27P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P（C）=$\frac{2}{3}$或P（C）=$\frac{11}{9}$ （舍去）．將P（C）=$\frac{2}{3}$分別代入②③可得P（A）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{1}{4}$．
故甲、乙、丙三人各自投籃一次投中的概率分別是$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$…（5分）
（2）丙連續投籃5次，恰有2次投中的概率為$P=C_5^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{40}{243}$；…（7分）
（3）ξ可以取的值為0，2，4，5，9，可求得：$P（ξ=0）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，$P（ξ=2）=C_3^1\frac{2}{3}{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，$P（ξ=4）={（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，$P（ξ=5）=2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{8}{27}$，$P（ξ=9）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	4	5	9
p	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$

∴ξ期望為Eξ=0+$2×\frac{2}{9}+4×\frac{4}{27}$+5×$\frac{8}{27}$+9×$\frac{8}{27}$=$\frac{140}{27}$…（12分）

點評 本題考查了相互獨立、互斥事件的概率計算公式及其數學期望，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．