Question

18．已知f（x）=x²-ax+lnx，a∈R．
（1）若a=0，求函數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）令g（x）=x²-f（x），x∈（0，e]（e是自然對數的底數）；求當實數a等于多少時，可以使函數g（x）取得最小值為3．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義即可求出切線方程．
（2）函數f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數，得到f′（x）=2x-a+$\frac{1}{x}$≥0，在[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，分離參數，根據基本不等式求出答案，
（3）g（x）=x²-f（x），求出函數的導數，討論a≤0，a＞$\frac{1}{e}$，0＜a≤$\frac{1}{e}$的情況，從而得出答案

解答 解：（1）a=0時，f（x）=x²+lnx，x＞0
∴f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=3，f（1）=1，
∴數y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為3x-y-2=0，
（2）函數f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是增函數，
∴f′（x）=2x-a+$\frac{1}{x}$≥0，在[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
即a≤2x+$\frac{1}{x}$，在[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
令h（x）=2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，取等號，
∴a≤2$\sqrt{2}$，
∴a的取值范圍為（-∞，2$\sqrt{2}$]
（3）g（x）=x²-f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]．
∴g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$（0＜x≤e），
①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍去）；
②當a＞0且$\frac{1}{a}$＜e時，即a＞$\frac{1}{e}$，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]上單調遞增，
∴g（x）_min=g（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，解得a=e²，滿足條件；
③當a＞0，且$\frac{1}{a}$≥e時，即0＜a≤$\frac{1}{e}$，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍去）；
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時，g（x）有最小值3．

點評 本題考查了函數的單調性，幾何意義，函數的最值問題，導數的應用，考查分類討論思想，是一道綜合題．