Question

8．若x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-3≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$，則z=（x-2）²+（y-3）²的取值范圍是[$\frac{32}{5}，13$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由z=（x-2）²+（y-3）²的幾何意義，即可行域內的動點與定點P（2，3）距離的平方求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x+3y-3≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，

z=（x-2）²+（y-3）²的幾何意義為可行域內的動點與定點P（2，3）距離的平方．
由圖可知，最小值為P到直線x+3y-3=0的距離的平方，等于$（\frac{1×2+3×3-3}{\sqrt{10}}）^{2}=\frac{32}{5}$；
最大值為$|OP{|}^{2}=（\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}）^{2}=13$．
∴z=（x-2）²+（y-3）²的取值范圍是[$\frac{32}{5}，13$]．
故答案為：[$\frac{32}{5}，13$]．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．