Question

17．數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2ⁿ⁺¹-（n+1），等差數列{b_n}的各項為正實數，其前n項和為T_n，且T₃=9，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列．
（I）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_nb_n，當n≥2時，求數列{c_n}的前n項和A_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2ⁿ⁺¹-（n+1），當n=1時，a₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．由T₃=9=3b₂，解得b₂=5，設等差數列{b_n}的公差為d，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，（a₂+b₂）=（a₁+b₁）（a₃+b₃），解得d，利用等差數列的通項公式即可得出b_n．
（2）c_n=a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{2}^{n}-（2n-1）（n≥2）}\end{array}\right.$．A_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，令S=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ，利用“錯位相減法”可得S，即可得出A_n．

解答 解：（I）∵S_n=2ⁿ⁺¹-（n+1），
∴當n=1時，a₁=S₁=2²-2=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2（n=1）}\\{{2}^{n}-1（n≥2）}\end{array}\right.$．
∵等差數列{b_n}的各項為正實數，其前n項和為T_n，且T₃=9，
∴b₂=3．
設數列{b_n}的公差為d，（d＞0）．
則b₁=3-d，b₃=3+d．
由{a_n}的通項公式知，a₁=2，a₂=3，a₃=7，
于是由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列得：（5-d）（10+d）=6²，
解之得d=2或d=-7（舍去），
∴b_n=2n-1；
（2）c_n=a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{2}^{n}-（2n-1）（n≥2）}\end{array}\right.$．
當n≥2時，A_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
=2+3×2²+5×2²+7×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ-[3+5+7+…+（2n-1）]
=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
令S=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2S=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
則-S=2+2（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
所以S=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，
故A_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹-n²+7．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應用、“錯位相減法”、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．