Question

5．三國魏人劉徽，自撰《海島算經》，專論測高望遠．其中有一題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直．從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合．問島高及去表各幾何？譯文如下：要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高均為3丈的標桿BC和DE，前后標桿相距1000步，使后標桿桿腳D與前標桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上，從前標桿桿腳B退行123步到F，人眼著地觀測到島峰，A、C、F三點共線，從后標桿桿腳D退行127步到G，人眼著地觀測到島峰，A、E、G三點也共線，問島峰的高度AH=1255 步（古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步）

Answer 1

分析 根據“平行線法”證得△BCF∽△HAF、△DEG∽△HAG，然后由相似三角形的對應邊成比例即可求解線段AH的長度．

解答 解：∵AH∥BC，
∴△BCF∽△HAF，
∴$\frac{BF}{HF}=\frac{BC}{AH}$
又∵DE∥AH，
∴△DEG∽△HAG，
∴$\frac{DG}{HG}=\frac{DE}{AH}$，
又∵BC=DE，
∴$\frac{BF}{HG}=\frac{DG}{HG}$，
即$\frac{123}{123+HB}=\frac{127}{127+1000+HB}$，
∴BH=30750（步）=102.5里，
又∵$\frac{BF}{HF}=\frac{BC}{AH}$，
∴AH=$\frac{5×（30750+123）}{123}$=1255（步）．
故答案為1255．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，能夠熟練運用三角形的相似解決是關鍵．