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15.在銳角△ABC 中,A,B,C的對邊為a,b,c,A=2B,則$\frac{a}$的取值范圍是($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$).

分析 由題意和正弦定理可得$\frac{a}$=2cosB,由銳角三角形可得B的范圍,由余弦函數值域和不等式可得.

解答 解:∵在銳角△ABC中A=2B,
∴由正弦定理可得:$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB,
∵A+B+C=π,
∴C+3B=π,即C=π-3B,
由銳角三角形可得0<π-3B<$\frac{π}{2}$,且0<2B<$\frac{π}{2}$,
∴解得$\frac{π}{6}$<B<$\frac{π}{4}$,故$\frac{\sqrt{2}}{2}$<cosB<$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\sqrt{2}$<2cosB<$\sqrt{3}$,
故答案為:($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$).

點評 本題考查正弦定理,余弦定理在解三角形中的應用,由已知三角形得出B的范圍是解決問題的關鍵,屬基礎題.

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