Question

3．已知函數f（x）=6cos²x-$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求銳角α滿足f（α）=3-2$\sqrt{3}$，求tan$\frac{4}{5}$α．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和輔助角公式將已知函數解析式轉化為正弦函數，然后來求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）根據f（α）=3-2$\sqrt{3}$求得α的值，然后結合特殊角的三角函數值進行解答．

解答 解：f（x）=6cos²x-$\sqrt{3}$sin2x
=3（2cosx-1）+3-$\sqrt{3}$3sin2x
=3cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+3
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x）+3
=-2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
當sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-1時，取得最大值為2$\sqrt{3}$+3；
最小正周期T=2π/w=2π/2=π
（2）∵f（α）=3-2$\sqrt{3}$，
∴-2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3=3-2$\sqrt{3}$，
即sin（2a-$\frac{π}{3}$）=1．
∵α是銳角，
∴2a-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
解得a=$\frac{5π}{12}$，
故$\frac{4}{5}$α=$\frac{π}{3}$，
所以tan$\frac{4}{5}$α=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．