Question

2．定義在實數R上的函數y=f（x）是偶函數，當x≥0時，f（x）=-4x²+8x-3．
（Ⅰ）求f（x）在R上的表達式；
（Ⅱ）在給出的坐標系中作出y=f（x）的圖象，并寫出f（x）最大值和f（x）在R上的單調區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x＜0時，-x＞0，代入已知x≥0時，f（x）=-4x²+8x-3，可得f（-x）=-4x²-8x-3，根據偶函數的性質可求得f（x）=-4x²-8x-3；
（Ⅱ）根據解析式可作出y=f（x）的圖象，根據二次函數的單調性分別求解兩段函數的單調區間即可．

解答 解：（Ⅰ）設x＜0，則-x＞0，f（-x）=-4（-x）²+8（-x）-3=-4x²-8x-3，（2分）
∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x），
∴x＜0時，f（x）=-4x²-8x-3，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-4{x}^{2}+8x-3，x≥0}\\{-4{x}^{2}-8x-3，x＜0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）如圖所示

由圖可知y=f（x）有最大值f（1）=f（-1）=1
函數y=f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1]和[0，1]
單調遞減區間是[-1，0]和[1，+∞）

點評 本題主要考查了利用偶函數的對稱性求解函數的解析式，函數單調性的判斷與證明，函數的單調區間的求解，（Ⅱ）中對每段函數求解單調區間時要注意函數的定義域．