Question

13．已知曲線$\frac{y^2}{b}$-$\frac{x^2}{a}$=1（a•b≠0且a≠b）與直線x+y-2=0相交于P，Q兩點，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0（O為原點），則$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先設p（x₁，y₁）；Q（x₂，y₂），根據題設條件k_op*k_oq=-1即；y₁y₂=-x₁x₂直線方程與雙曲線方程聯立，求得x₁+x₂=和x₁x₂的表達式，代入y₁y₂=-x₁x₂求得答案．

解答 解：設p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，
∴k_op*k_oq=-1即；y₁y₂=-x₁x₂
聯立直線x+y-2=0和曲線$\frac{y^2}{b}$-$\frac{x^2}{a}$=1兩方程可得：（a-b）x²-4ax+4a-ab=0，
x₁+x₂=$\frac{4a}{a-b}$，x₁x₂=$\frac{4a-ab}{a-b}$，
y₁y₂=（2-x₁）（2-x₂）=4-2（x₁+x₂）+x₁x₂=-x₁x₂
即4-2•$\frac{4a}{a-b}$+$\frac{4a-ab}{a-b}$=-$\frac{4a-ab}{a-b}$，
即ab=2a-2b，
則$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-b}{ab}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了雙曲線的應用．考查了學生綜合分析問題的能力，屬于中檔題．