Question

8．給出下列四個結論：
①已知直線l₁：ax+y+1=0，l₂：x+ay+a²=0，則l₁∥l₂的充要條件為a=±1；
②函數f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx滿足f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），則函數f（x）的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0）；
③已知平面α和兩條不同的直線a，b，滿足b?α，a∥b，則a∥α；
④函數f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的單調區間為（0，1）∪（1，+∞）．
其中正確命題的個數為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 根據直線平行判斷①，根據三角函數的性質判斷②，根據線面平行判斷③，根據導數的應用判斷④．

解答 解：對于①，由l₁∥l₂，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{{a}^{2}-a≠0}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，①錯；
對于②，由f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），得：f（x+π）=f（x），
∴f（x）的周期是π，ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故x=$\frac{π}{6}$時，f（x）=2，②錯；
對于③，a?α時，結論不成立，③錯；
對于④，f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由f′（x）＞0，得：x＞1，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，④錯；
故選：D．

點評 本題考查了充分必要條件，考查三角函數，直線的平行的關系以及導數的應用，是一道中檔題．