Question

18．設3f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$，求f（x）的極值．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{3f（x）-f（\frac{1}{x}）=\frac{1}{x}}\\{3f（\frac{1}{x}）-f（x）=x}\end{array}\right.$，
解得：f（x）=$\frac{1}{8}$（x+$\frac{3}{x}$），
故f′（x）=$\frac{1}{8}$（1-$\frac{3}{{x}^{2}}$）=$\frac{{x}^{2}-3}{{8x}^{2}}$
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{3}$或x＜-$\sqrt{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{3}$＜x＜$\sqrt{3}$且x≠0，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{3}$）遞增，在（-$\sqrt{3}$，0）遞減，在（0，$\sqrt{3}$）遞減，在（$\sqrt{3}$，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（-$\sqrt{3}$）=-$\frac{2\sqrt{3}}{8}$，f（x）_極小值=f（$\sqrt{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．