Question

10．設命題p：函數$f（x）=lg（a{x^2}-x+\frac{a}{16}）$的定義域為R；命題q：3^x-9^x＜a對一切的實數x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． a＜2
• B． a≤2
• C． a≥2
• D． a＞2

Answer 1

分析 分別求出命題p，命題q為真時，實數a的取值范圍，再求出“p且q”為真命題時，實數a的取值范圍，進而可得答案．

解答 解：若函數$f（x）=lg（a{x^2}-x+\frac{a}{16}）$的定義域為R，
故$a{x}^{2}-x+\frac{a}{16}＞0$恒成立，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=1-\frac{1}{4}{a}^{2}＜0\end{array}\right.$，
解得：a＞2，
故命題p：a＞2，
若3^x-9^x＜a對一切的實數x恒成立，
則t-t²＜a對一切的正實數t恒成立，
故a＞$\frac{1}{4}$，
故命題q：a＞$\frac{1}{4}$，
若命題“p且q”為真命題，則a＞2，
故命題“p且q”為假命題時，a≤2，
故選：B

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了恒成立問題，指數函數對數函數的圖象和性質，轉化思想，難度中檔．