Question

16．已知常數a，b∈R，且不等式x-alnx+a-b＜0解集為空集，則ab的最大值為$\frac{1}{2}$e³．

Answer 1

分析 由題意可得不等式x-alnx+a-b＜0解集為空集，即任意正數x，x-alnx+a-b≥0恒成立，即x+a-b≥alnx恒成立，a＞0是必然的，設曲線y=alnx的切線l與直線y=x+a-b平行，求出切點，以及切線方程，可得x+a-b≥x+alna-a，ab≤a•a（2-lna），構造函數f（x）=x²（2-lnx），求出導數和單調區間，可得最大值，即可得到ab最大值．

解答 解：不等式x-alnx+a-b＜0解集為空集，即任意正數x，x-alnx+a-b≥0恒成立，
即x+a-b≥alnx恒成立，當題目條件成立時，a＞0是必然的，
設曲線y=alnx的切線l與直線y=x+a-b平行，
由$\frac{a}{x}$=1，解得x=a，切點為（a，alna），
則可以求得直線l方程為y=x+alna-a．
于是必有x+a-b≥x+alna-a，即b≤2a-alna，
當ab取得最大值時，必然b＞0，于是ab≤a•a（2-lna），
構造函數f（x）=x²（2-lnx），導數f′（x）=3x-2xlnx，x＞0，
當x＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當0＜x＜e${\;}^{\frac{3}{2}}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
則x=e${\;}^{\frac{3}{2}}$時，取得極大值，也為最大值f（e${\;}^{\frac{3}{2}}$）=e³（2-lne${\;}^{\frac{3}{2}}$）=（2-$\frac{3}{2}$）e${\;}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{3}{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{2}{e^3}$．

點評 本題考查不等式解法及應用，注意運用恒成立思想、構造函數法，導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．