Question

2．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)（2，0）和點(diǎn)（0，1）；
（2）焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個交點(diǎn)為P（0，-10），P到它較近的一個焦點(diǎn)的距離等于2．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），則點(diǎn)（2，0）為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)（0，1）為橢圓的上頂點(diǎn)，a=2，b=1，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），P（0，-10）在橢圓上，即P為橢圓的下頂點(diǎn)，則a=10．-c-（-10）=2，故c=8，b²=a²-c²=36．即可求得橢圓方程．

解答 解：（1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)（2，0）和（0，1）
∴則點(diǎn)（2，0）為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)（0，1）為橢圓的上頂點(diǎn)，
∴a=2，b=1，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵P（0，-10）在橢圓上，即P為橢圓的下頂點(diǎn)，
∴a=10．
又∵P到它較近的一個焦點(diǎn)的距離等于2，
∴-c-（-10）=2，故c=8，
∴b²=a²-c²=36．
∴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{y}^{2}}{100}+\frac{{x}^{2}}{36}=1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．