Question

9．已知函數f（x）=|2x-1|-x，
（1）用分段函數的形式表示該函數，并畫出該函數的圖象；
（2）寫出該函數的值域、單調區間（不要求證明）；
（3）若對任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用零點分段法，可將函數解析式化為分段函數，進而結合一次函數的圖象和性質，得到函數的圖象；
（2）數形結合，可得函數的值域、單調區間；
（3）若對任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，則a≤|2x-1|-x的最小值．

解答 解：（1）∵函數f（x）=|2x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}-3x+1，x＜\frac{1}{2}\\ x-1，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
函數的圖象如下圖所示：

（2）由圖可得：函數的值域為：[-$\frac{1}{2}$，+∞）；
單調減區間為：為：（-∞，$\frac{1}{2}$]，單調增區間為：[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（3）若對任意x∈R，不等式|2x-1|≥a+x恒成立，
則a≤|2x-1|-x恒成立，
即a≤-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的圖象，函數的單調性，函數的值域，函數恒成立問題，難度中檔．