Question

11．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC，AC、BD交于點O．
（I）求證：FC∥平面EAD；
（II）求證：AC⊥平面BDEF．
（III）求二面角F-AB-C（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，可得平面FBC∥平面EAD，由此能夠證明FC∥平面EAD；
（Ⅱ）設AC與BD相交于點O，連接FO，推導出AC⊥BD，AC⊥FO，由此能證明AC⊥平面BDEF；
（Ⅲ）連接FO、FD，先證明FO⊥平面ABCD．，再過O作OH垂直AB于H，連結FH，則∠FHO就是二面角F-AB-C（銳角）的平面角．

解答 解：（Ⅰ）證明：因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF．
因為AD?平面FBC，DE?平面FBC，所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC
又AD∩DE=D，AD?平面EAD，DE?平面EAD，所以平面FBC∥平面EAD
又FC?平面FBC，所以FC∥平面EAD
（Ⅱ）證明：連接FO，因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，
又O為AC中點，且FA=FC，所以AC⊥FO，
因為FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．  
（Ⅲ）連接FO、FD，則因為四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF為等邊三角形，
因為O為BD中點．所以FO⊥BD，又因為O為AC中點，且FA=FC，所以AC⊥FO
又AC∩BD=O，所以FO⊥平面ABCD．
過O作OH垂直AB于H，連結FH，則∠FHO就是二面角F-AB-C（銳角）的平面角．
設AB=2，因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，OB=1，FO=$\sqrt{3}$，
OH=$\frac{1}{2}ADsin6{0}^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，tan∠FHO=$\frac{OF}{OH}=2$，∴$cos∠FHO=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
二面角F-AB-C（銳角）的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直、直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．．