Question

2．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|-x．
（1）當a=1，解不等式f（x）＜g（x）；
（2）對任意x∈[-1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入f（x）后化簡f（x）＜g（x），對x分類討論，分別去掉絕對值求出x的范圍，最后再求并集可得答案；
（2）由條件求出g（x），由絕對值不等式的解法化簡|x+a|＜3，求出a的表達式，由x的范圍和恒成立求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1，f（x）=|x+1|，
由f（x）＜g（x）可得|x+1|＜|x+3|-x，即|x+3|-|x+1|-x＞0，
當x≤-3時，原不等式等價于-x-2＞0，即x＜-2，∴x≤-3，
當-3＜x＜-1時，原不等式等價于x+4＞0，即x＞-4，∴-3＜x＜-1，
當x≥-1時，原不等式等價于-x+2＞0，即x＜2，∴-1≤x＜2，
綜上所述，不等式的解集為（-∞，2）；
（2）當x∈[-1，1]時，g（x）=|x+3|-x=3，
∵對任意x∈[-1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，
∴對任意x∈[-1，1]，|x+a|＜3恒成立，
∴-3＜x+a＜3，即-3-x＜a＜3-x，當x∈[-1，1]時恒成立，
∴a的取值范圍-2＜a＜2．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，恒成立問題轉化為求最值問題，以及分類討論思想，考查化簡、變形能力．