Question

14．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-x，x＜0\\|{lnx}|，x＞0\end{array}\right.$，則關于x的方程[f（x）]²-f（x）+a=0（a∈R）的實數解的個數不可能是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調性，做出f（x）的草圖，得出f（x）=t的根的情況，根據方程t²-t+a=0不可能有兩個負根得出結論．

解答 解：當x＜0時，f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-1＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數，
當x＞0時，f（x）=|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，
做出f（x）的大致函數圖象如圖所示：

設f（x）=t，則當t＜0時，方程f（x）=t有一解，
當t=0時，方程f（x）=t有兩解，
當t＞0時，方程f（x）=t有三解．
由[f（x）]²-f（x）+a=0，得t²-t+a=0，
若方程t²-t+a=0有兩解t₁，t₂，則t₁+t₂=1，
∴方程t²-t+a=0不可能有兩個負實數根，
∴方程[f（x）]²-f（x）+a=0不可能有2個解．
故選A．

點評 本題考查了函數單調性的判斷，根的存在性判斷，一元二次方程的根的個數判斷，屬于中檔題．