Question

6．如圖，已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M為PB的中點．
（Ⅰ）求證：PC⊥BC．
（Ⅱ）求二面角M-AC-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可
（Ⅱ）取AB中點O，連結MO、過O作HO⊥AC于H，連結MH，因為M是PB的中點，∠MHO為二面角M-AC-B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又因為∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．
（Ⅱ）取AB中點O，連結MO、過O作HO⊥AC于H，連結MH，因為M是PB的中點，所以MO∥PA，
又因為PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO為二面角M-AC-B的平面角．
設AC=2，則BC=2$\sqrt{3}$，MO=1，OH=$\sqrt{3}$，
在Rt△MHO中，tan∠MHO=$\frac{MO}{HO}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
二面角M-AC-B的大小為30⁰．

點評 本題考查了線線的位置關系，及二面角的求解，屬于基礎題，