Question

10．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ-2cosθ-6sinθ+$\frac{1}{ρ}$=0，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，點P的坐標為（3，3），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標化簡公式化簡求解即可．
（2）把直線方程代入圓的方程化簡可得t的二次方程，利用根與系數的關系，以及|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|求出|PA|•|PB|．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ-2cosθ-6sinθ+$\frac{1}{ρ}$=0，
可得：ρ²-2ρcosθ-6ρsinθ+1=0，
可得x²+y²-2x-6y+1=0，
曲線C的普通方程：x²+y²-2x-6y+1=0．
（2）由于直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
把它代入圓的方程整理得 t²+2t-5=0，∴t₁+t₂=-2，t₁t₂=-5，
|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{6}$．
∴|PA|+|PB|的值2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查參數方程化普通方程，考查極坐標方程化直角坐標方程，考查了直線的參數方程中參數t的幾何意義，是基礎題．