Question

20．設函數f（x）=-x²+ax+2（x²-x）lnx．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）時，f（x）+x²＞0恒成立，求整數a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）問題轉化為a＞-2（x-1）lnx恒成立，令g（x）=-2（x-1）lnx，根據函數的單調性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=2時，f（x）=-x²+2x+2（x²-x）lnx，
所以$f'（x）=-2x+2+2（2x-1）lnx+2（{x^2}-x）•\frac{1}{x}$=（4x-2）lnx，
由f'（x）＞0可得：（4x-2）lnx＞0，
所以$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞0\\ lnx＞0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4x-2＜0\\ lnx＜0.\end{array}\right.$，
解得x＞1或$0＜x＜\frac{1}{2}$；
由f'（x）＜0可得：（4x-2）lnx＜0，
所以$\left\{\begin{array}{l}4x-2＞0\\ lnx＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4x-2＜0\\ lnx＞0\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜x＜1$．
綜上可知：f（x）遞增區間為$（0，\frac{1}{2}）$，（1，+∞），遞減區間為$（\frac{1}{2}，1）$．
（Ⅱ）若x∈（0，+∞）時，f（x）+x²＞0恒成立，
則ax+2（x²-x）lnx＞0恒成立，
因為x＞0，所以a+2（x-1）lnx＞0恒成立，
即a＞-2（x-1）lnx恒成立，
令g（x）=-2（x-1）lnx，則a＞g（x）_max．
因為$g'（x）=-2（lnx+\frac{x-1}{x}）=-2lnx-2+\frac{2}{x}$，
所以g'（x）在（0，+∞）上是減函數，且g'（1）=0，
所以g（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上是減函數，
∴x=1時，g（x）_max=0，
∴a＞0，又因為a∈Z，所以a_min=1．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、轉化思想，是一道中檔題．