Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，且PA=AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，E、F分別為AD、PC中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)F到平面PAB的距離；
（2）求證：平面PCE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取PB的中點(diǎn)G，連接FG、AG，證得底面ABCD為正方形．再由中位線定理可得FG∥AE且FG=AE，四邊形AEFG是平行四邊形，則AG∥FE，運(yùn)用線面平行的判定定理可得EF∥平面PAB，點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得AD⊥平面PAB，即可得到所求距離；
（2）運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得BC⊥平面PAB，EF⊥平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 （1）解：如圖，取PB的中點(diǎn)G，連接FG、AG，
因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且PA=AD=2，$BD=2\sqrt{2}$，
所以底面ABCD為正方形．
∵E、F分別為AD、PC中點(diǎn)，
∴FG∥BC，AE∥BC，$FG=\frac{1}{2}BC$，$AE=\frac{1}{2}AD$，
∴FG∥AE且FG=AE，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴AG∥FE，
∵AG?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB，
∴點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB=A，
AD⊥平面PAB，
則點(diǎn)F到平面PAB的距離為EA=1．
（2）證明：由（1）知AG⊥PB，AG∥EF，
∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，
由AG?平面PAB，
∴BC⊥AG，又∵PB∩BC=B，
∴AG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC，
∵EF?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PBC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)到平面的距離，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，熟練掌握定理的條件和結(jié)論是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．