Question

2．如圖，已知△OCB中，A是BC邊的中點，D是OB邊上靠近點B的三等分點，DC與OA相交于點E，DE：DC=2：5，設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{DC}$；
（2）若$\overrightarrow{OE}=λ\overrightarrow{OA}$，求實數λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形法則求出$\overrightarrow{OA}$，再利用向量加減運算的三角形法則求出$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{DC}$；
（2）根據$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}$，用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{OE}$即可得出λ的值．

解答 解：（1）∵A為BC的中點，
∴$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∵D為OB的三等分點，∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{b}$．
（2）∵DE：DC=2：5，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{a}$．
∴λ=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了平面向量的線性運算，結合圖形，根據三角形或平行四邊形法則得出，屬于中檔題．