Question

11．已知函數f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并給以證明；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數的定義求解即可：即f（-x）+f（x）=0．
（2）求函數的定義域，利用定法證明其單調性．
（3）對函數進行化簡，分離常數法，即可得到值域．

解答 解：（1）由題意：函數f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$是奇函數．
∴f（-x）+f（x）=0．
即：$\frac{1-{2}^{-x}}{a+{2}^{1-x}}+$$\frac{1-{2}^{x}}{a+{2}^{x+1}}$=0
化簡整理得：$\frac{{2}^{x}-1}{a•{2}^{x}+2}+\frac{1-{2}^{x}}{a+2•{2}^{x}}$=0
可得：a•2^x+2=a+2•2^x
解得：a=2．
所以實數a的值為2．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$，其定義域為R．
函數f（x）在定義域R上單調減函數．證明如下：
設x₁＜x₂，那么：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{2（1+{2}^{{x}_{1}}）}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{2（1+{2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
故得f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以函數f（x）在定義域R上單調減函數．
（3）由（1）可得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$=$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{2（1+{2}^{x}）}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$．
∵$\frac{1}{1+{2}^{x}}≠0$
∴f（x）$≠-\frac{1}{2}$，
所以函數f（x）的值域為（-∞，$-\frac{1}{2}$）∪（$-\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了奇函數的運用能力和單調性的定義的運用，分離常數法求解值域．屬于基礎題．