Question

20．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$π
• C． 12π
• D． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$π

Answer 1

分析 根據幾何體的三視圖，得該幾何體為一直四棱錐，畫出直觀圖，求出該四棱錐的外接球的直徑即可．

解答 解：根據幾何體的三視圖，得該幾何體為一直四棱錐，其直觀圖如圖所示；

∵正視圖和側視圖是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，
∴四棱錐的底面是正方形，且邊長為2，其中一條側棱SA⊥底面ABCD且棱長SA=2，
∴四棱錐的側棱SB=SD=2$\sqrt{2}$，
∴四棱錐的側棱SC滿足SC²=SA²+AB²+AD²=2²+2²+2²=12，
∴該幾何體的外接球的直徑為2R=SC，
它的表面積為4πR²=πSC²=12π．
故選：C．

點評 本題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體外接圓的表面積的應用問題，是基礎題目．